Вы, наверно, удивитесь, но математики не считают дифференциал бесконечно малой. В отличии от физиков. 
Язык кванторов чудесен и удобен, потому его и используют.
Что касается цитаты, она кривая. Вообще, замечания - пожалуй, единственные места в математических текстах, где возможны некоторые вольности. Я бы сформулировал так:
"Не путайте любое маленькое число, и бесконечно малую величину. Последовательность, состоящая из повторяющегося числа, в пределе даёт это число. Поэтому, только нуль подходит под определение бесконечно малой."
Не утерпел, т.к. следуя своим учителям считаю архиважным придерживаться общепринятой терминологии и не допускать ее искажения, что делают многие физики и иже с ними в своих трудах (я не оспариваю ценность их научных трудов, но против "неаккуратного" использования ими математических терминов.
Итак следуя классическому мат анализу:
Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю или Переменная величина Хn называется бесконечно малой, если она имеет предел, равный нулю.
Необходимо различать термин “бесконечно малая величина” от выражения “сколь угодно малая величина”.
Бесконечно малая величина по определению является величиной переменкой. Когда говорят что “ε есть любое сколь угодно малое число”, то под этим понимаем, что ε может быть выбрано произвольно, но после того, как его выбрали, оно становится определенным фиксированным числом.
Походит ли 0 под это определение? Очевидно нет, т.к. не является переменной величиной!
Процитирую основателя советской мат школы Н. Н. Лузина: для правильного понимания самой сути дела учащийся должен хорошо усвоить, что бесконечно малое по самому своему определению есть всегда переменная величина и что поэтому никакое постоянное число, как бы мало оно ни было, никогда не есть бесконечно малое. Учащийся должен остерегаться пользоваться сравнениями или уподоблениями вроде, например, следующего: ,, Один сантиметр есть величина бесконечно малая по сравнению с диаметром солнца“. Эта фраза совершенно неправильна. Обе величины и сантиметр и диаметр солнца суть величины постоянные и, значит, конечные, только, разумеется, одна значительно меньше другой. Притом и сантиметр вовсе не представится маленькой величиной, если мы, например, сравним его с ,, толщиной волоса“, а для движущегося микроба сантиметр явится пространством колоссальной величины. Чтобы избавиться от всяких рискованных сравнений и субъективных случайных уподоблений, учащийся твердо должен помнить, что никакая постоянная величина не является бесконечно малой, так же как никакое число, как бы мало оно ни было.
Однако существует Нестандартный анализ, содержащий обоснование метода актуальных бесконечно малых.
Начало положила работа А. Робинсона в которой до некоторой степени реализуется идея Лейбница и его последователей о существовании бесконечно малых величин, отличных от нуля, — идея, которая в последующем развитии математического анализа была заменена точным понятием предела переменной величины.
Последователи стоят на следующей точки зрения: " Долгие годы несправедливой борьбы с актуальными бесконечно большими и бесконечно малыми величинами не прошли бесследно, породив обычные в таких случаях негативные последствия, в частности, массу предрассудков по отношению к понятиям и конструкциям, связанным с инфинитезималями.
Но и они аккуратно подходят к терминологии.
Я не специалист в этой области и достаточно давно спрашивал мнение коллег мехматян по данному вопросу.
Вот их ответ: Результаты, полученные методами нестандартного анализа, могут быть доказаны обычным образом.
Являются ли идеи нестандартного анализа плодотворными решит время.
Сообщение отредактировал Lee2014York: 10 января 2021 - 15:20
Тема закрыта
